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news 2025/7/4 19:32:51

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文章目录

简单密码算法
- 模运算数学定义
- 置换
- - 移位
  - 代换
  - 仿射
- 参考文献

简单密码算法

模运算数学定义

模m剩余类集 $Z_m$
设∀a,b∈Z（整数），m为正整数
m|b-a ，称a R b
R满足反身性、对称性、传递性
1、R为同余关系，也是Z的一个等价关系。
2、记为a≡b(mod m)，即： a同余于b，模m。
3、[a]为整数集Z的一个模m剩余类
(1) [a]可记为 $\overline {a}$
(2) 对应的商集为Z的模m剩余类集，记作 $Z_m$

环
1、 $Z_m$ 上定义加法和乘法，都具有运算封闭性、符合交换律和结合律。
2、加法有逆元和单位元，乘法只有单位元。
3、加法逆元是 $\overline{m-a}$ ，单位元是 $\overline{0}$ ，加法构成群。
4、乘法单位元是 $\overline{1}$ ，乘法无逆元，因此就乘法运算只能是半群，乘法构成半群。
5、乘法与加法存在分配律
$(a + b) c = (a c) + (b c)$
$c (a + b) = (c a) + (c b)$
因此构成了环。

置换

移位

定义移位映射
$e_k(x)=(x+k) \quad mod \quad 26\\ d_k(y)=(y-k) \quad mod \quad 26\\ e_k、d_k互为逆映射，e_k为加密，d_k为解密。 \\注意，这里的e_k、d_k映射为单射。$
设k=3，x为D，则加密结果为G，y为G，解密结果为D。
实质上移位也是一种置换。

设X为一个集合，含有n个元素，每个元素对应原文的一个字母（或一个字节），如果是字母则有26个，如果是字节则有256（ $2^8$ ）个。
$定义S_n=\{φ|φ是X上的双射\}\\ 称s_n中的元素为n元置换。\\ 令集合 X=\{1,2,3,...,n\} ，任意置换φ∈S_n，可表示为如下形式\\ φ=\begin{pmatrix} 1 & 2 &...&n\\ φ(1) & φ(2)&...&φ(n) \end{pmatrix} \\此处也可设 X=\{0,1,2,3,...,n-1\} \\ φ=\begin{pmatrix} 0 & 1 &...&n-1\\ φ(0) & φ(1)&...&φ(n-1) \end{pmatrix}$
这里的 $φ$ 就是 $e_k$ 也可以是 $d_k$ 。
移位规定的 $φ$ 就是置换
$\quad mod \quad n \\ k是秘钥$
看一个置换
$φ=\begin{pmatrix} 0 & 1 &...&n-1\\ φ(0) & φ(1)&...&φ(n-1) \end{pmatrix} \\定义s_5中的φ(x)=(x+k) \quad mod \quad 5 ,k=3,n=5 \\ φ=\begin{pmatrix} 0&1 & 2 &3&4\\ 3&4 & 0&1&2 \end{pmatrix} \\置换φ为长度为5的轮换$
任意置换 $φ∈S_{26}$ ，对于26个字母来说，即定义了移位运算（移位映射φ）

代换

当然如果在这里指定置换φ函数中每个自变量对应的函数值，即：分段常数函数，就是代换。
26个字母共有 $26 ！$ 种置换，一个字节共有 $256 ！$ 种置换。
每种置换构成一个密码表（每个原文以及对应的密文组成）

仿射

$\quad mod \quad n \\ \\n为26或256$
1、加密映射定义如下：
$\\ e(x)=( ax+b)\quad mod \quad n$
因为同余方程 $\quad m)有唯一解的充要条件是gcd(a,m)=1$
所以规定 $g c d (a, n) = 1 ，即 a 与 n 互素$
2、解密映射定义如下：
$\quad n) \\ax≡y-b (mod \quad n) \\a^{-1}(ax)≡a^{-1}(y-b) (mod \quad n) \\d(y)=a^{-1}(y-b) \quad mod \quad n \\n为26或256,映射为单射$
3、密钥为 $\quad a,b∈Z_n$