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黄小宁

用泡沫塑料和油漆制成的铅球与真正的铅球，两者有不同的内部形状。同样，数学有长度相同但内部形状不同的伪≌直线段。

几何学有史2300年来一直认定附着在直线z上的直线段一定是z的一部分。其实这是2300年肉眼直观错觉——百年病态集论的症结。

复平面z伸展变换为2z面就使x轴⊂z面沿本身拉伸变换为u=2x轴附着在x轴上。

点集U=｛...｝均匀拉伸变换为V=｛.  .  .｝（U各点彼此保序拉开了一段距离形成V），相比下U（V）是组织结构较紧实（松散）的点集。当规定各元点只能作位置改变而不能作别的改变时，均匀拉伸（压缩）变换将相比下组织结构较紧实（松散）的点集拉伸（压缩）成结构较松散（紧实）的点集。骨头的内部形状随骨密度的改变而改变，同样组织结构不同的直线（段）有不同的内部形状。两等长直线段若有不同的组织结构则其有不同的内部形状从而互不≌。

2300年几何学一直不知有内部形状不同的直线（段）从而一直不知附着在一直线z上的直线段不一定是z的子部。将药水涂在皮肤上，附着在皮肤上的药水不是皮肤的一部分；同样可证附着在直线z上的直线段不一定是z的子部。

x轴沿本身拉伸变换为u=2x轴（不≌x轴）附着在x轴上。u轴与x轴有不同的内部形状说明u轴的一子部直线段a通过刚体运动变为附着在x轴上的直线段a，但a不能是x轴的一部分（x轴可以是由无穷多直线段连接成的点集）。道理很简单：a与u轴形状相同大小不同，而a与x轴不但大小不同且形状（内部形状）不同。

2300年几何学一直认定任何直线段d经刚体运动变为附着在直线z上的直线段d就必成为z的一部分。这使康脱误入百年歧途推出错上加错的更重大错误：直线段的部分点可与全部点一样多。

详论见黄小宁的长文《直线公理使初等数学一直将各异直线误为同一线——数集相等定义凸显初数一直将各异假R误为R》。

参考文献

[1]黄小宁。初等数学2300年之重大错误：将无穷多各异点集误为同一集——让中学生也能一下子认识3000年都无人能识的直线段[J]，考试周刊，2018（71）:58。